1. 形式逻辑概述

命题 是一句为真 或 假的语句。

命题表述了一个确定性的事物，其真假性与命题的内容有关，命题确定，其真假也随之确定。真假性会随时间改变的语句与疑问句不是命题。

命题虽然有确定的真假性，但判断某个命题的真假并不是一件容易的事。

谓词（Predicate） 是指其真假性取决于其中一个或多个自变量取值的命题。当谓词中自变量的取值确定时，其真假性就随之确定。这与函数很像，但谓词不是函数。

不证自明的命题被称作 公理。

证明 是指从公理及已被证明的命题出发推导出命题结论的一系列推理过程。

为了方便交流，我们常称：

• 重要的真命题为 定理（Theorem）
• 为命题证明作准备的命题称 引理（Lemma）
• 由定理出发几步就能推导出的命题为 推论（Corollary）

逻辑推理（Logical Deduction），或称 推理规则（Inference Rule），是指基于已被证明的命题来证明新命题的方法。其可表示为：

$P$ 被称作 前件（Antecedent），$Q$ 被称作 结论 或 后件（Consequent）。

推理规则必须是 有效（Sound） 的。即若命题 $P$，$Q$ 为真，则其所有前件与结论均为真。从真命题出发经有效的推理规则得到的结论就都是真的。我们接下来介绍一些十分常见的有效推理规则。

蕴涵

我们称“如果 $P$，则 $Q$”的命题为 蕴含（Implication），记作 $P\to Q$，其等价于命题 $\mathrm{\neg }P\vee Q$。假言推理 形式如下：

即若能证明命题 $P$ 与 $P\to Q$ 为真，则命题 $Q$ 为真。此时

证明命题 $P\to Q$ 有两种方式：

1. 假设 $P$ 成立，通过逻辑推理直接得到 $Q$ 成立。
2. 证明该命题的 逆否命题 $\mathrm{\neg }Q\to \mathrm{\neg }P$ 成立，随后使用方法 1 证明该逆否命题成立。

其有如下衍生形式：

当且仅当

命题“命题 $P$ 成立当且仅当命题 $Q$ 成立“，称作 逻辑等价 。记作 $P\leftrightarrow Q$。若该命题永真，称命题 $P$，$Q$ 是 逻辑等价 的，记作 $P\equiv Q$。命题 $P\leftrightarrow Q$ 等价于命题 $P\to Q$ 与 $Q\to P$ 同时成立。 因此，该命题的证明方法有：

1. 证明命题 $P\to Q$ 与 $Q\to P$ 同时成立。
2. 构建一条等价的命题链。即证明 $P\equiv A\equiv B\equiv \cdots \equiv Q$。

案例证明

将一个大命题分解为一系列小命题的集合，并证明这一系列问题均为真，从而证明原命题为真。

反证法

又称 间接证明。即假设要证明的命题为假，对应假设某个虚假事实为真，随后证明该虚假事实不可能为真，因此原命题得证。

上面只是对形式逻辑的一个简要介绍，并没有大量涉及形式化的描述，这方面内容的详细介绍还请见 3. 逻辑公式。

此外，证明并不仅仅是一套用于证明新命题的机械化符号表达。优秀的证明不仅严谨，而且简洁清晰，明白易懂。因此，书写证明时，也需要注意以下书写证明的准则：

• 陈述证明过程。
• 保持证明过程有序。
• 证明不是计算过程。
• 不要过度使用符号，避免让证明沦为纯粹的符号游戏。
• 使用新的符号与术语前先仔细介绍它们。
• 将长证明结构化。
• 警惕“显然”、“注意到”等用词。所有在作者看来显然的东西在读者那边一定是不显然甚至是很难理解的。
• 证明完成后，回顾总结一下。